Question

15．从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP=$\sqrt{3}$，则球的体积为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 利用几何图形得出△ABC和△PAB为正三角形，根据正三角形的几何性质得出$\frac{OP}{OA}$=$\frac{AP}{A{O}^{′}}$，$\frac{A{O}^{′}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
再直角三角形的几何性质得出$\frac{A{O}^{′}}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$所以OA=$\frac{OP•{O}^{′}A}{AP}$整体求解即可，得出半径求解球的体积．

解答 解：
连接OP交平面ABC于O′，
由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形，
所以O'A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP．因为AO'⊥PO，OA⊥PA，
所以$\frac{OP}{OA}$=$\frac{AP}{A{O}^{′}}$，$\frac{A{O}^{′}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{A{O}^{′}}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以OA=$\frac{OP•{O}^{′}A}{AP}$=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
球的半径为1，
故体积为$\frac{4}{3}$×π×1³=$\frac{4}{3}$π，
故选：C

点评 本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力．