Question

函数f（x）=x²+bln（x+1）-2x，b∈R
（I）当时，求函数f（x）的极值；
（II）设g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求证：对任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．

Answer 1

解：（1）当时，函数解析式为，定义域为（-1，+∞）
∴对函数求导数，得，
令，解得或…（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

由表格可得：当时，函数f（x）的极大值为f（）=；当时，函数f（x）的极小值为f（）=； …（6分）
（2）∵g（x）=f（x）+2x，f（x）=x²+bln（x+1）-2x，∴g（x）=x²+bln（x+1），f（x）=g（x）-2x
∵f（x）=x²+bln（x+1）-2x，所以，其中x∈（-1，+∞）
因为b≥2，所以f'（x）≥0（当且仅当b=2，x=0时等号成立），所以f（x）在区间（-1，+∞）上是增函数，
从而对任意x₁，x₂∈（-1，+∞），当x₁≥x₂时，f（x₁）≥f（x₂），
∴g（x₁）-2x₁≥g（x₂）-2x₂，整理得g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）…（10分）
所以对任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．…（12分）
分析：（1）当时，函数解析式为，定义域为（-1，+∞）．然后利用求导数的方法，得x变化时，f'（x），f（x）的变化情况的表格，由表格可得到函数f（x）的极大值和极小值；
（2）对函数f（x）求导数，得，因为b≥2，所以f'（x）≥0，得到f（x）在区间（-1，+∞）上是增函数，从而得到对任意x₁，x₂∈（-1，+∞），当x₁≥x₂时，必定f（x₁）≥f（x₂），再结合g（x）=f（x）+2x化简整理，即得g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂），命题得证．
点评：本题给出一个含有字母参数的基本初等函数，讨论了函数的极值和单调性，着重考查了利用导数研究函数的单调性与极值和用函数证明恒等式的知识点，属于基础题．