Question

15．若抛物线y=x²与以（0，1）为圆心，r为半径的圆相交于A、B、C、D四个点，则r的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 先联立抛物线与圆的方程消去x，得到y的二次方程，根据抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．

解答 解：将抛物线y=x²代入圆x²+（y-1）²=r²（r＞0）的方程，
消去x²，整理得y²-y+1-r²=0（1）
抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根
∴$\left\{\begin{array}{l}1-4（1-{r}^{2}）＞0\\ 1-{r}^{2}＞0\\ r＞0\end{array}\right.$．
解得r∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
故r的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

点评 本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．