Question

已知函数f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（3）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理求得f（x）=2sin（2x+

π

3

），进而利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）根据（1）中的函数的解析式，和正弦函数的性质可求得函数的最大和最小值，同时可求得函数取最大和最小值时x的值．
（3）根据正弦函数的单调性求得函数递增时2x+

π

3

的范围，进而求得x的范围，则函数的单调性增区间可得．

解答：解：（1）原式=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）
=2（sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

）=2sin（2x+

π

3

）
∴函数f（x）的最小正周期为π

（2）当2x+

π

3

=2kπ+

π

2

时，即：x=kπ+

π

12

（k∈Z），f（x）有最大值2
当2x+

π

3

=2kπ-

π

2

时，即：x=kπ-

5π

12

（k∈Z），f（x）有最小值-2

（3）要使f（x）递增，必须使2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z）
∴函数f（x）的递增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

2

]（k∈Z）

点评：本题主要考查了三角函数周期性及其求法，二倍角公式和两角和公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．