Question

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

 
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

Answer 1

（1）
（2）所求Y的分布列为

Y	51	48	45	42
P

 
因此，所求年收获量Y的期望为E(Y)＝46

(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记n_k为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n₁＝2，n₂＝4，n₃＝6，n₄＝3.
由P(X＝k)＝，得
P (X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故所求Y的分布列为

Y	51	48	45	42
P

 
因此，所求年收获量Y的期望为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46.