Question

13．如图，椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为32$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）已知N（1，0），若过点N的直线交椭圆M于E，F两点，且-$\frac{27}{2}$≤$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$≤-12，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件可以得到关于a，b的方程组：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}}\\{4ab=32\sqrt{3}}\end{array}\right.$，这样可解出a，b，从而得出椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）可设直线方程为y=k（x-1），联立椭圆的方程并消去y可得到（3+4k²）x²-8k²x+4k²-48=0，可设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），根据韦达定理便可得到${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，这样便可求出$\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NF}=\frac{-45（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，从而可建立关于k的不等式，解不等式便可得出直线斜率的取值范围．

解答 解：（1）$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$①；
矩形ABCD面积为$32\sqrt{3}$，即$2a•2b=32\sqrt{3}$②；
由①②解得：a²=16，b²=12；
∴椭圆M的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）设直线的方程为：y=k（x-1）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=48}\end{array}\right.$得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-48=0；
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则：
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$；
又$\overrightarrow{NE}=（{x}_{1}-1，{y}_{1}），\overrightarrow{NF}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$；
∴$\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NF}=（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）+{y}_{1}{y}_{2}$=（x₁-1）（x₂-1）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=$\frac{-45（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$；
∴$-\frac{27}{2}≤\frac{-45（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}≤-12$；
解之得：$\frac{1}{2}≤{k}^{2}≤3$；
∴直线的斜率的取值范围为$[-\sqrt{3}，-\frac{\sqrt{2}}{2}]∪[\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{3}]$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率，直线的点斜式方程，以及韦达定理，根据点的坐标求向量的坐标，数量积的坐标运算，一元二次不等式的解法．