Question

19．已知函数f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x）-lg$\sqrt{2}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质，即可得到结论；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）运用f（x）为R上的奇函数和增函数，可得k•3^x＜9^x-3^x+2，即有k＜3^x-1+2•3^-x的最小值，运用基本不等式即可得到所求的最小值，进而得到k的范围．

解答 解：（1）函数f（x）为奇函数．
理由：函数f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x）-lg$\sqrt{2}$，
可得$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x＞0，当x≥0时，显然成立；
当x＜0时，$\sqrt{{x}^{2}+2}$＞-x，平方可得x²+2＞x²恒成立．
则f（x）的定义域为R，
由f（-x）+f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$-x）-lg$\sqrt{2}$+lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x）-lg$\sqrt{2}$
=lg（x²+2-x²）-lg2=lg2-lg2=0，
即有f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数；
（2）f（x）在R上为增函数．
证明：设m＜n，即有f（m）-f（n）=lg（m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$）-lg$\sqrt{2}$-lg（n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$）+lg$\sqrt{2}$
=lg（m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$）-lg（n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$），
由（m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$）-（n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$）=（m-n）+$\frac{2+{m}^{2}-2-{n}^{2}}{\sqrt{2+{m}^{2}}+\sqrt{2+{n}^{2}}}$
=（m-n）（$\frac{（m+\sqrt{2+{m}^{2}}）+（n+\sqrt{2+{n}^{2}}）}{\sqrt{2+{m}^{2}}+\sqrt{2+{n}^{2}}}$＜0，
即m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$＜n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$，
可得lg（m+$\sqrt{2+{m}^{2}}$）-lg（n+$\sqrt{2+{n}^{2}}$）＜0，
即为f（m）＜f（n），则f（x）在R上递增；
（3）f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，
即为f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），
由f（x）在R上递增，可得k•3^x＜9^x-3^x+2，
即有k＜3^x-1+2•3^-x的最小值，
由3^x+2•3^-x-1≥2$\sqrt{{3}^{x}•2•{3}^{-x}}$-1=2$\sqrt{2}$-1．
当且仅当3^x=2•3^-x，即x=log₃$\sqrt{2}$时，取得最小值．
则k＜2$\sqrt{2}$-1．
故实数k的取值范围是（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．