Question

14．已知F₁、F₂为双曲线E的左、右焦点，点M在E上，△F₁F₂M为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$+1
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

Answer 1

分析 不妨设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由题意，∠F₁F₂M=120°，F₁F₂=F₂M=2c，可得M（2c，$\sqrt{3}$c），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即可求出E的离心率．

解答 解：不妨设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由题意，∠F₁F₂M=120°，F₁F₂=F₂M=2c，
∴M（2c，$\sqrt{3}$c），
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴4e⁴-8e²+1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，求出M的坐标是关键．