Question

5．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是空间两个不共线的向量，已知$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{DC}$=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且A，B，D三点共线，则实数k=1．

Answer 1

分析 由题意可得向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BD}$共线，存在实数λ，使$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BD}$，可得关于k，λ的方程组，进行求解即可．

解答 解：∵A，B，D三点共线，
∴向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BD}$共线，故存在实数λ，使$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BD}$，
由题意可得$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（5$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=6（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
即$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$=6λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+6λ $\overrightarrow{{e}_{2}}$，
故可得 $\left\{\begin{array}{l}{6λ=1}\\{6λ=k}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{k=1}\end{array}\right.$，
故k=1，
故答案为：1．

点评 本题考查向量的线性运算，涉及向量的共线定理，建立方程关系是解决本题的关键．