Question

10．定义在（0，+∞）上的函数f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＞0．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）若f（4）=6，解不等式f（3-2x）+f（-x）＞3．

Answer 1

分析 （1）先判断函数f（x）为定义上的单调递减函数，再用作差比较法证明；
（2）先得出f（2）=3，将原不等式等价为：f[（3-2x）（-x）]＞f（2），再运用函数的调调性列不等式组求解．

解答 解：（1）函数f（x）在（0，+∞）单调递减，证明过程如下：
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，所以，0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）-f（x₂）
=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-f（x₂）
=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）单调递减；
（2）因为f（4）=f（2）+f（2）=6，所以f（2）=3，
原不等式可写成：f[（3-2x）（-x）]＞f（2），
再根据函数的定义域和单调性得$\left\{\begin{array}{l}{3-2x＞0}\\{-x＞0}\\{（3-2x）•（-x）＜2}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{1}{2}$＜x＜0，
即原不等式的解集为：（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题主要考查了抽象函数单调性的判断和证明，以及运用抽象函数的单调性解函数不等式，属于中档题．