如图所示.正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1.E.F分别是棱AA′.CC′的中点.过直线E.F的平面分别与棱BB′.DD′交于M.N.设BM=x.x∈(0.1).给出以下四个命题:①四边形MENF为平行四边形,②若四边形MENF面积s=f有最小值,③若四棱锥A-MENF的体积V=p为常函数,④若多面体ABCD-MENF的体积V=h(x).x∈.则h(x)为单调函数,其中假命题为 ( )A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：
①四边形MENF为平行四边形；
②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；
③若四棱锥A-MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；
④若多面体ABCD-MENF的体积V=h（x），x∈（$\frac{1}{2}$，1），则h（x）为单调函数；
其中假命题为（　　）

A．

①

B．

②

C．

③

D．

④

分析根据已知中正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，
∴EN∥MF，
同理：FN∥EM，
∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；
②MENF的面积s=f（x）=$\frac{1}{2}$（EF×MN），
当M为BB′的中点时，即x=$\frac{1}{2}$时，MN最短，此时面积最小．故正确；
③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，

它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．
因为三角形AEF的面积是个常数．
M，N到平面AEF的距离和是个常数，
所以四棱锥C'-MENF的体积V为常数函数，故正确．
④多面体ABCD-MENF的体积V=h（x）=$\frac{1}{2}$V_{ABCD-A′B′C′D′}=$\frac{1}{2}$为常数函数，故错误；
故选：D．

点评本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，函数的最值，函数的单调性，棱锥的体积等知识点，难度中档．

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