Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（sin$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，已知A=$\frac{π}{3}$，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积公式及三角函数公式化简f（x）．
（2）求出B的范围，结合正弦函数性质得出f（B）的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$=sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=2π．
（2）f（B）=sin（B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵△ABC是锐角三角形，A=$\frac{π}{3}$，∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴当B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（B）取得最大值$\frac{3}{2}$，
B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$时，f（B）取得最小值$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
∴f（B）的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的性质及化简求值，要记住常用公式及解题步骤，属于中档题．