Question

9．为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测指标评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在（40，60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．现检验员小张检测出200个合格零件，根据指标评分绘制的频率分布直方图如图所示．
（1）求出频率分布与直方图中a的值；
（2）估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；
（2）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如表：

零件评分结果所在区间	（40，50]	（50，60]
每个零件个数被修复的概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$

假设每个零件被修复与否相互独立．现有5个零件的检测指标评分结果为（单位：分）：38，43，45，52，58，
①求这5个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率；
②记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．
（2）由频率分布直方图，能估计这200个零件评分结果的平均数和中位数．
（2）①由题意得评分结果在（40，50]，（50，60]内零件各2个，记这5个零件被修复的个数为随机变量X，则这5个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率：p=P（X=3）+P（X=4），由此能求出结果．
②由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得：
10（0.01+0.02+0.03+a）=1，
解得a=0.04．
（2）由频率分布直方图，估计这200个零件评分结果的平均数：
$\overline{x}$=10（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82．
由频率分布直方图，知前2个矩形面积之和为0.5，∴中位数为80．
（2）①由题意得评分结果在（40，50]，（50，60]内零件各2个，
记这5个零件被修复的个数为随机变量X，
则这5个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率：p=P（X=3）+P（X=4），
∵P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
∴这5个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率：p=P（X=3）+P（X=4）=$\frac{7}{36}$．
②由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

EX=$0×\frac{1}{9}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{36}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查频率公布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．