Question

1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分∠BAD，作DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由AE为角平分线，得到一对角相等，再由四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BF，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DE，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出△ADE为等腰三角形，根据“三线合一”得到G为AE中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AE的长，再由△ADE≌△FCE得出AE=FE，即可求出AF的长．

解答 解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAF=∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠BAF=∠DEA，
∴∠DAF=∠DEA，
∴AD=ED，
又E为DC的中点，
∴DE=CE，
∴AD=DE=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=$\sqrt{3}$，
则AE=2AG=2$\sqrt{3}$，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，
在△ADE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠F}\\{∠ADE=∠FCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE=FE，
则AF=2AE=4$\sqrt{3}$．
故答案是：4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．