Question

(本小题满分12分)如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱．

(1)若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x，宽y设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；

(2)若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米，则小网箱的长、宽为多少米时，可使总造价最低？

 

Answer 1

【答案】

(1)每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时，网箱中筛网的总长度最小．

(2)当小网箱的长与宽分别为米与米时，可使总造价最低．

【解析】

试题分析：（1）将实际问题转化成数学问题，出现乘积是定值，且等号能取到，利用基本不等式求最值．

（2）将实际问题转化成数学问题，出现乘积是定值，但等号取不到，不能用基本不等式求最值，利用导数求函数单调性求最值．

(1)设小网箱的长、宽分别为x、y米，筛网总长度为L，

依题意4x·2y＝108，即xy＝，L＝4x＋6y. ……1分

因为4x＋6y＝2(2x＋3y)≥4＝36，所以L≥36. ………3分

当且仅当2x＝3y时，等号成立，

解方程组得……5分

即每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时，网箱中筛网的总长度最小．………6分

(2)设总造价为W元，则由4x·2y＝160，得xy＝20. ……7分

因为4x≤15,2y≤15，所以x≤，y≤.

又因为y＝≤.

所以≤x≤.……8分

W＝(8x＋4y)·112＋(4x＋6y)·96＝·112＋·96＝1 280.……9分

求导，可得W(x)在上单调递减．……10分

所以当x＝时，W最小，此时x＝，y＝.……11分

即当小网箱的长与宽分别为米与米时，可使总造价最低．………12分

考点：本试题主要考查了在实际问题中，运用均值不等式求解最值的运用。

点评：解决该试题的关键是利用基本不等式请求函数的最值是一定注意使用的条件：一正；二定；三相等．当然也可以运用函数的思想求解导数得到最值，两者要合理使用。