Question

【题目】小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．
（Ⅰ）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；
（Ⅱ）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）记“甲第i次抢得红包”为事件Ai（i=1，2），“甲第i次没有抢得红包”为事件 ．则 ， ．
记“甲恰有1次抢得红包”为事件A，则 ，
由事件的独立性和互斥性，得
= ．
（Ⅱ）记“乙第i次抢得红包”为事件Bi（i=1，2，3），“乙第i次没有抢得红包”为事件 ．
则 ， ．
由题意知X的所有可能取值为0，5，10，15，20，
由事件的独立性和互斥性，得：
．
．
．
．
．
所以X的分布列为：

X	0	5	10	15	20
P

所以乙抢得所有红包的钱数之和X的数学期望：

【解析】（Ⅰ）记“甲第i次抢得红包”为事件Ai（i=1，2），“甲第i次没有抢得红包”为事件 ．记“甲恰有1次抢得红包”为事件A，则 ，由此利用事件的独立性和互斥性，能求出甲恰有1次抢得红包的概率．（Ⅱ）记“乙第i次抢得红包”为事件Bi（i=1，2，3），“乙第i次没有抢得红包”为事件 ．由题意知X的所有可能取值为0，5，10，15，20，由事件的独立性和互斥性，分别求出相应的概率，由此能求出
X的分布列和数学期望．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．