Question

3．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$的图象经过点（0，$\frac{1}{2}$）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）+f（-x）=1．

Answer 1

分析 （1）将（0，$\frac{1}{2}$）代入函数f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$的解析式，可得a值，进而得到函数y=f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，求出f（-x），相加整理可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$的图象经过点（0，$\frac{1}{2}$）．
∴a-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得：a=1，
故f（x）=1-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
证明：（2）∵f（-x）=1-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$=1-$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，
∴f（x）+f（-x）=1-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$+1-$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=1．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，指数式的化简求值，难度中档．