Question

(本小题满分12分）如图，已知是圆的直径，，是⊙上一点，且，，，是的中点，是的中点

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求与平面所成角的大小

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

试题分析：(1)证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；(4)证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键.

试题解析：证明：（1）在?PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF//BC. （1分）

又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF//平面ABC. （3分）

（2）因为AB是⊙O的直径，所以BC?AC. （4分）

在Rt?ABC中，AB=2，AC=BC，所以. （5分）

因为在?PCB中，，，，

所以，所以BC?PC. （6分）

又PC∩AC=C，所以BC?平面PAC. （7分）

由（1）知EF//BC，所以EF?平面PAC. （8分）

（3）【解析】
由（2）知BC?平面PAC，PA?平面PAC，所以PA?BC. （9分）

因为在?PAC中，，，，

所以，所以PA?AC. （10分）

又AC∩BC=C，所以PA?平面ABC.

所以?PCA为PC与平面ABC所成角. （11分）

在Rt PAC中，，所以?PCA=，

即PC与平面ABC所成角的大小为. （12分）

考点：1、直线与平面平行的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、直线与平面所成的角.