Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）当a=2时，求函数y=f（x）+g（x）的定义域、值域；
（2）求使f（x）-g（x）＞0成立的x取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过当a=2时，直接求解定义域，化简函数y=f（x）+g（x）的表达式求出函数的值域；
（2）通过f（x）-g（x）＞0转化为对数不等式，通过a的范围的讨论转化为 不等式组，即可求解x取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，函数y=f（x）+g（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）有意义，
必须

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，∴函数的定义域（-1，1），
y=log₂（1+x）（1-x）=log₂（1-x²），∵函数的定义域（-1，1），
∴1-x²∈（0，1]，函数的值域y∈（-∞，0]；
（2）函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
使f（x）-g（x）＞0成立，即f（x）＞g（x），
当a＞1时，log_a（1+x）＞log_a（1-x）满足

1+x＞1-x 1+x＞0 1-x＞0

，解得0＜x＜1．
当0＜a＜1时，log_a（1+x）＞log_a（1-x）满足

1+x＜1-x 1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜0．
综上，a＞1时．x取值范围：{x|0＜x＜1}；
0＜a＜1时，x取值范围：{x|-1＜x＜0}．

点评：本题考查指数、对数不等式的解法，函数的定义域的求法，考查分类讨论思想的应用．