Question

【题目】解答题
（1）（1）已知命题p：|x2﹣x|≥6，q：x∈Z且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．
（2）已知p：x2﹣8x﹣20≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵非q是假，则q是真，

又∵P且q是假∴P假即非P真，

∴|x2﹣x|＜6，且x∈Z，

∴﹣6＜x2﹣x＜6且x∈Z，

即 ，

解之得： ，

∴x=﹣1，0，1，2

（2）

解：由题知，若p是q的必要不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件．

由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10，

∴p：﹣2≤x≤10；

由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），整理得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0

解得 1﹣m≤x≤1+m，

∴q：1﹣m≤x≤1+m

又∵p是q的充分不必要条件

∴，∴m≥9，

∴实数m的取值范围是[9，+∞）

【解析】（1）解绝对值不等式|x2﹣x|≥6，我们可以求出命题p成立时，x的取值范围，再由p且q与非q都是假命题，可得x应满足P假且q真，由此构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围；（2）由绝对值不等式及一元二次不等式的解法，得到p，q的等价命题．又由￢p是￢q的必要而不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件，再由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，得到A、B的关系，进而得到m的取值范围．