Question

【题目】在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣ ）= ，C与l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB= ，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．

∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；

由l：ρcos（θ﹣ ）= ，展开为 ，

∴l的直角坐标方程为x+ y﹣3=0．

由直线l与圆C相切可得 =a，解得a=1．

（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+ ，

则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+ ）

=3cosθ﹣ sinθ=2 cos（θ+ ），

当θ=﹣ 时，|OA|+|OB|取得最大值2

【解析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+ ，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+ ）=2 cos（θ+ ），利用三角函数的单调性即可得出．