Question

【题目】已知在直角坐标系xOy中，曲线C1： （θ为参数），在以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：ρsin（ ）=1．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，分别求这三个点的极坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1： （θ为参数），两式平方相加可得：x2+y2=4，

曲线C2：ρsin（ ）=1，展开可得： + =1，化为直角坐标方程： =0

（2）解：原点O到直线C2： =0的距离d= =1= r，

直线 y+x=0与圆的两个交点A，B满足条件．

联立 ，解得 或 ，

利用 ，分别化为极坐标A ，B ．

设与直线： =0平行且与圆相切的直线方程为： y+x+m=0，（m＜0）．

联立 ，化为：4y2+2 my+m2﹣4=0，

令△=12m2﹣16（m2﹣4）=0，解得m=﹣4．

∴ =0，

解得y= ，x=1．

∴切点C ，化为极坐标C ．

∴满足条件的这三个点的极坐标分别为：极坐标A ，B ，C ．

【解析】（1）曲线C1： （θ为参数），两式平方相加可得直角坐标方程；曲线C2：ρsin（ ）=1，展开可得： + =1，把 代入即可化为直角坐标方程．（2）原点O到直线C2： =0的距离d=1= r，直线 y+x=0与圆的两个交点A，B满足条件．联立 ，解出利用 ，分别化为极坐标A，B．

设与直线： =0平行且与圆相切的直线方程为： y+x+m=0，（m＜0）．与圆的方程联立化为：4y2+2 my+m2﹣4=0，令△=0，解得m，即可得出．