Question

圆x²+y²+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则

1

a

+

4

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：由已知得该直线经过圆心（-1，2），把圆心（-1，2）代入直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0），得a+b=1，a＞0，b＞0，由此利用均值定理能求出

1

a

+

4

b

的最小值．

解答： 解：∵圆x²+y²+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）对称，
∴该直线经过圆心（-1，2），
把圆心（-1，2）代入直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0），得：
-2a-2b+2=0
∴a+b=1，a＞0，b＞0
∴

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

的）（a+b）
=4+

4b

a

+

a

b

+1
≥2

4b a × a b

+5=9，
当且仅当

4b

a

=

a

b

，即a=2b时取得最小值9．
故答案为：9．

点评：本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用．