Question

已知等差数列{a_n}中，a₃a₇=-16，a₄+a₆=0．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若数列{a_n}的公差大于0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且bn=

1

Sn+10n

，求数{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的性质结合题意可得

a3=4 a7=-4

，或

a3=-4 a7=4

，分别求公差和首项代入求和公式可得；
（2）可知S_n=n²-9n，裂项可得b_n=

1

n

-

1

n+1

，代入求和可得．

解答：解：（1）由等差数列的性质可得a₃+a₇=a₄+a₆=0，
又a₃a₇=-16，故

a3=4 a7=-4

，或

a3=-4 a7=4

，
当

a3=4 a7=-4

时，可得公差d=

a7-a3

7-3

=-2，可得a₁=a₃-2d=8，
故S_n=na1+

n(n-1)

2

d=-n²+9n；
当

a3=-4 a7=4

时，可得公差d=

a7-a3

7-3

=2，可得a₁=a₃-2d=-8，
故S_n=na1+

n(n-1)

2

d=n²-9n；
（2）可知S_n=n²-9n，故bn=

1

Sn+10n

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
故{b_n}的前n项和T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及分类讨论的思想以及裂项相消法求和，属中档题．