Question

在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AM⊥BC于M，点N是△ABC内部或边上一点，则

AM

•

AN

的最大值为（　　）

• A、9
• B、16
• C、25
• D、

  144

  25

Answer 1

分析：由题意，以AB，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，由AM⊥BC于M可得|

AM

|=

12

5

，

A M

•

BC

=0，联立可得M的坐标，由点N（x，y）是△ABC内部或边上一点可得

0≤x≤3 0≤y≤4 4x+3y-12≤0

AM

•

AN

=

48x+36y

25

，
从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC）内最大值问题．

解答：解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC为直角三角形，AB⊥AC以A为原点，以AB，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，
则A（0，0），B（3，0），C（0，4），设M（a，b） （a，b＞0）   N（x，y）
则由点N是△ABC内部或边上一点可得，

0≤x≤3 0≤y≤4 4x+3y-12≤0

    
则

BC

 = (-3，4)， 

AM

=(a，b)，|

AM

|=

12

5

由AM⊥BC于M可知

AM

•

BC

=0，|

AM

|=

12

5

可得
    b=

36

25

，a =

48

25

令Z=

AM

•

AN

=

48x+36y

25

，从而转化为线性规划问题，求目标函数Z在平面区域△ABC内的最大值
利用线性规划知识可得当过边界BC时将取得最大值，此时Z=

144

25

故选 D

点评：此题是一道综合性较好的试题，以向量的相关知识（向量的垂直、向量的模的坐标表示）为载体，把向量的数量积的问题转化为线性规划的问题，突破难点的关键要看到两点①点N是△ABC内部或边上一点?

0≤x≤3 0≤y≤4 4x+3y-12≤0

②

AM

•

AN

=

48x+36y

25

．