Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出向量

PD

，

PB

，设平面PBD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，根据

n • PD =0 n • PB =0

可求出

n

，最后根据点C到平面PBD的距离d=

| PC • n |

| n |

可求出所求；
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），根据NE⊥面PAC可得，

NE • AP =0 NE • AC =0

求出N点的坐标，从而N点到AB、AP的距离．

解答：解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（

3

，0，0）、C（

3

，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，

1

2

，1），从而

PD

=(0，1，-2)，

PB

=(

3

，0，-2)．…（2分）
设平面PBD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • PD =0 n • PB =0

即

y-2z=0 3 x-2z=0

令z=1，得

n

=（

2

3

，2，1）
所以点C到平面PBD的距离d=

| PC • n |

| n |

=

2 57

19

…（6分）
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则

NE

=(-x，

1

2

，1-z)，
由NE⊥面PAC可得，

NE • AP =0 NE • AC =0

即

z-1=0 - 3 x+ 1 2 =0

∴x=

3

6

，z=1 …10 分
即N点的坐标为(

3

6

，0，1)，从而N点到AB、AP的距离分别为1，

3

6

 …（12分）

点评：本题主要考查了点到面的距离，以及利用空间向量的方法解立体几何问题，同时考查了计算能力和转化思想，属于中档题．