Question

16．设P₁和P₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的两点，线段P₁P₂的中点为M，直线P₁P₂不经过坐标原点O．
（1）若直线P₁P₂和直线OM的斜率都存在且分别为k₁和k₂，求证：k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$；
（2）若双曲线的焦点分别为${F_1}（-\sqrt{3}，0）$、${F_2}（\sqrt{3}，0）$，点P₁的坐标为（2，1），直线OM的斜率为$\frac{3}{2}$，求由四点P₁、F₁、P₂、F₂所围成四边形P₁F₁P₂F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）法1：设不经过点O的直线P₁P₂方程为y=k₁x+l，代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，消去y，设 P₁坐标为（x₁，y₁），P₂坐标为（x₂，y₂），中点坐标为M （x，y），通过韦达定理，推出${a^2}{k_1}{k_2}={a^2}{k_1}^2+{b^2}-{a^2}{k_1}^2$，即可证明k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$．
法2：设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），中点M （x，y），利用 $x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$且$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1（1）\\ \frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1（2）\end{array}\right.$
利用平方差法通过直线P₁P₂和直线OM的斜率都存在，化简求解即可证明k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$．
（2）通过$\left\{\begin{array}{l}\frac{2^2}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}+{b^2}=3\end{array}\right.$，求得双曲线方程，求出直线P₁ P₂方程为$y-1=\frac{1}{3}（x-2）$，然后求解面积．
另解：线段P₁ P₂中点M在直线$y=\frac{3}{2}x$上．所以由中点M（（x，y），可得点P₂的坐标为P₂（2x-2，3x-1），代入双曲线方程可求出以${P_2}（-\frac{10}{7}，-\frac{1}{7}）$．然后求解面积．

解答 解：（1）证明：法1：设不经过点O的直线P₁P₂方程为y=k₁x+l，代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$方程得：$（{b^2}-{a^2}{k_1}^2）{x^2}-2{a^2}{k_1}lx-{a^2}{b^2}-{a^2}{l^2}=0$．
设 P₁坐标为（x₁，y₁），P₂坐标为（x₂，y₂），中点坐标为M （x，y），则$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，${x_1}+{x_2}=\frac{{2{a^2}{k_1}l}}{{{b^2}-{a^2}{k_1}^2}}$，${k_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}={k_1}+\frac{{{b^2}-{a^2}{k_1}^2}}{{{a^2}{k_1}}}$，所以，${a^2}{k_1}{k_2}={a^2}{k_1}^2+{b^2}-{a^2}{k_1}^2$，k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$．
法2：设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），中点M （x，y），则 $x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$且$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1（1）\\ \frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1（2）\end{array}\right.$
（1）-（2）得：$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{a^2}-\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{b^2}=0$．
因为，直线P₁P₂和直线OM的斜率都存在，所以（x₁+x₂）（x₁-x₂）≠0，
等式两边同除以（x₁+x₂）（x₁-x₂），得：$\frac{1}{a^2}-\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{1}{b^2}=0$
即k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$．（6分）
（2）由已知得$\left\{\begin{array}{l}\frac{2^2}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}+{b^2}=3\end{array}\right.$，求得双曲线方程为$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$，
直线P₁ P₂斜率为$\frac{b^2}{a^2}$$÷\frac{3}{2}=\frac{1}{3}$，
直线P₁ P₂方程为$y-1=\frac{1}{3}（x-2）$，
代入双曲线方程可解得 ${P_2}（-\frac{10}{7}，-\frac{1}{7}）$（中点M坐标为$（\frac{2}{7}，\frac{3}{7}）$．
面积$\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{3}•\frac{8}{7}=\frac{{8\sqrt{3}}}{7}$．
另解：线段P₁ P₂中点M在直线$y=\frac{3}{2}x$上．所以由中点M（（x，y），可得点P₂的坐标为P₂（2x-2，3x-1），代入双曲线方程可得$\frac{{{{（2x-2）}^2}}}{2}-{（3x-1）^2}=1$，即7x²-2x=0，解得$x=\frac{2}{7}$（$y=\frac{3}{7}$），所以${P_2}（-\frac{10}{7}，-\frac{1}{7}）$．面积$\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{3}•\frac{8}{7}=\frac{{8\sqrt{3}}}{7}$．

点评 本题考查直线与双曲线方程的综合应用，直线的斜率的求法，设而不求方法的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．