Question

6．（1）一光线经点P（5，3）被直线l：y=3x+3反射，若反射光线经过点Q（1，1），求入射光线所在直线方程．
（2）已知正方形ABCD一边AB的方程 x+2y+3=0和中心P（1，1），求边BC和AD的方程．
（3）已知椭圆$\frac{x^2}{{3{m^2}}}+\frac{y^2}{{5{n^2}}}=1$和双曲线$\frac{x^2}{{2{m^2}}}-\frac{y^2}{{3{n^2}}}=1$有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程．

Answer 1

分析 （1）先求出Q（1，1）关于直线l：y=3x+3的对称点的坐标C（3，4），再根据点C、点P在入射光线所在的直线上，利用两点式求得入射光线PC所在的直线方程．
（2）利用中心P到边的距离相等，建立方程，即可求边BC和AD的方程．
（3）利用椭圆$\frac{x^2}{{3{m^2}}}+\frac{y^2}{{5{n^2}}}=1$和双曲线$\frac{x^2}{{2{m^2}}}-\frac{y^2}{{3{n^2}}}=1$有公共的焦点，确定m，n的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：（1）由题意，设Q（1，1）关于直线l：y=3x+3的对称点的坐标为（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a-1}•3=-1}\\{\frac{1+b}{2}=3•\frac{1+a}{2}+3}\end{array}\right.$，
∴a=-2，b=2
利用反射定律可得，C（-2，2）在入射光线所在的直线上，
由于点P（5，3）也在入射光线所在的直线上，故入射光线所在的直线方程为$\frac{y-2}{3-2}=\frac{x+2}{5+2}$，即x-7y+16=0；
（2）设BC的方程为2x-y+c=0，则$\frac{|1+2+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2-1+c|}{\sqrt{5}}$，∴c=5或-7
∴AD：2x-y+5=0，BC：2x-y-7=0；
（3）∵椭圆$\frac{x^2}{{3{m^2}}}+\frac{y^2}{{5{n^2}}}=1$和双曲线$\frac{x^2}{{2{m^2}}}-\frac{y^2}{{3{n^2}}}=1$有公共的焦点，
∴3m²-5n²=2m²+3n²，
∴m=±2$\sqrt{2}$n，
∴双曲线的渐近线方程y=±$\sqrt{\frac{3{n}^{2}}{2{m}^{2}}}$x=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$x．

点评 本题主要考查反射定率、求一个点关于直线的对称点的坐标、用两点式求直线的方程，考查直线方程，考查双曲线、椭圆的方程与性质，属于中档题．