Question

1．已知A，B是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个顶点，若P双曲线上一点，P关于x轴对称点为Q，若直线AP，BQ的斜率分别K₁，K₂且K₁K₂=-$\frac{4}{9}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Answer 1

分析 设P（x，y），则Q（x，-y），利用A（-a，0），B（a，0），直线AP，BQ的斜率分别K₁，K₂且K₁K₂=-$\frac{4}{9}$，建立方程，结合双曲线的定义，求出$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设P（x，y），则Q（x，-y），
∵A（-a，0），B（a，0），直线AP，BQ的斜率分别K₁，K₂且K₁K₂=-$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{y}{x+a}$•$\frac{-y}{x-a}$=-$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的方程是关键．