Question

已知二次函数f（x）=2x²+ax+b为偶函数，g（x）=（

3

-1）x+m，h（x）=c（x+1）²（c≠2），关于x的方程f（x）=h（x）有且仅有一根

1

2

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，1]，

f(x)

≤g（|x|）恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）令φ（x）=

f(x)

+

f(1-x)

，若存在x₁，x₂∈[0，1]使得|φ（x₁）-φ（x₂）|≥g（m），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=f（-x）求a的值，再由关于x的方程f（x）=h（x）有且仅有一根

1

2

列式求得b，c的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a代入f（x），求出当x=0时

f(x)

≤g（|x|）恒成立的m的取值范围，然后验证对于任意的x∈[-1，1]，

f(x)

≤g（|x|）恒成立得到m的取值范围；
（Ⅲ）把存在x₁，x₂∈[0，1]使得|φ（x₁）-φ（x₂）|≥g（m）成立转化为|φ(x1)-φ(x2)|max≥

3

m，结合f（x）=2x²+1≥

2

3

(x+1)2在x∈[0，1]上恒成立变形可得

6

3

(x+1)≤

f(x)

≤(

3

-1)x+1在x∈[0，1]上恒成立．进一步得到

6

3

(x+1)+

6

3

(1-x+1)≤φ（x）≤(

3

-1)x+1+(

3

-1)(1-x)+1，求得|φ（x₁）-φ（x₂）|的最大值后代入|φ(x1)-φ(x2)|max≥

3

m，即可求得m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=2x²+ax+b为偶函数，由f（x）=f（-x），得2（-x）²-ax+b=2x²+ax+b，即a=0，
由f（x）=h（x），可得（c-2）x²+2cx+c-b=0，代入x=

1

2

得：b=

9

4

c-

1

2

  ①，
由△=0，得c²=（c-2）（c-b）  ②．
联立①②解得：b=1，c=

2

3

，
∴a=0，b=1，c=

2

3

；
（Ⅱ）f（x）=2x²+1，g（x）=（

3

-1）x+m，
当x=0时，由

f(x)

≤g（|x|）恒成立，得m≥1；
当m=1时，(

2x2+1

)2-[(

3

-1)|x|+1]2=2(

3

-1)x2-2(

3

-1)|x|=2(

3

-1)|x|(|x|-1)≤0，
∴

2x2+1

≤(

3

-1)|x|+1，
∴对任意的x∈[-1，1]，

f(x)

≤g（|x|）恒成立的实数m的取值范围是[1，+∞）；
（Ⅲ）由题意可知，|φ(x1)-φ(x2)|max≥

3

m，
由a=0，b=1，c=

2

3

，可得f（x）=2x²+1≥

2

3

(x+1)2在x∈[0，1]上恒成立，
∴

2x2+1

≥

6

3

(x+1)在x∈[0，1]上恒成立，
由（Ⅱ）知

2x2+1

≤(

3

-1)在x∈[0，1]上恒成立．
∴

6

3

(x+1)≤

f(x)

≤(

3

-1)x+1在x∈[0，1]上恒成立．
又∵当x∈[0，1]时，1-x∈[0，1]，
∴

6

3

(x+1)+

6

3

(1-x+1)≤φ（x）≤(

3

-1)x+1+(

3

-1)(1-x)+1，
即

6

≤φ（x）≤

3

+1，
∴|φ(x1)-φ(x2)|max=

3

+1-

6

≥

3

m，
则m≤1+

3

3

-

2

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数奇偶性性质的应用，训练了函数不等式恒成立条件的求法，体现了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，综合考查了学生的逻辑思维能力抽象思维能力，是难度较大的题目．