Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=k3n﹣m，且a1=3，a3=27．
（I）求证：数列{an}是等比数列；
（II）若anbn=log3an+1 ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵ ，∴S1=a1=3k﹣m=3，a3=S3﹣S2=18k=27，解得 ．
则当n≥2时， ，
又a1=3，∴n∈N* ， ．
则 为常数，故由等比数列的定义可知，数列{an}是等比数列．
（II）解：∵anbn=log3an+1 ， ∴ ．
则 ，
∴ ，
则 ，
即 （n∈N*）
【解析】（I）利用递推关系与等比数列的定义即可证明．（II）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】关于本题考查的等比关系的确定和数列的前n项和，需要了解等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．