Question

已知三条直线l₁:2x-y+a=0(a＞0),直线l₂:-4x+2y+1=0和直线l₃:x+y-1=0，且l₁与l₂的距离是.

(1)求a的值.

(2)求l₃到l₁的角θ.

(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的;③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是∶?若能，求P点坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

剖析：求解本题的必需工具是三个公式：平行直线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式和点到直线的距离公式.其中第(3)问应解一个由①②③建立起来的方程组.

解：(1)l₂即2x-y-=0,∴l₁与l₂的距离d==.

    ∴=.

    ∴|a+|=.

    ∵a＞0,∴a=3.

    (2)由(1)，l₁即2x-y+3=0,∴k₁=2.

    而l₃的斜率k₃=-1,

    ∴tanθ== =-3.

    ∵0≤θ≤π,∴θ=π-arctan3.

    (3)设点P(x₀,y₀),若P点满足条件②，则P点在与l₁、l₂平行的直线l′:2x-y+c=0上.且=,即c=或c=.

    ∴2x₀-y₀+=0或2x₀-y₀+=0.

    若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=×,

    即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|.

    ∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0.

    由P在第一象限，∴3x₀+2=0不可能.

    联立方程2x₀-y₀+=0和x₀-2y₀+4=0,解得

    由得

    ∴P(,)即为同时满足三个条件的点.