Question

已知

a

，

b

均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题
p₁：|

a

+

b

|＞1?θ∈[0，

2π

3

）      
p₂：|

a

+

b

|＞1?θ∈（

2π

3

，π]
p₃：|

a

-

b

|＞1?θ∈[0，

π

3

）       
p₄：|

a

-

b

|＞1?θ∈（

π

3

，π]
其中真命题是（　　）

A．p₂，p₃

B．p₁，p₃

C．p₁，p₄

D．p₃，p₄

Answer 1

分析：利用向量数量积的概念与性质对p_i（i=1，2，3，4）逐个判断即可．

解答：解：∵

a

，

b

均为单位向量，其中夹角为θ，
∴p₁：|

a

+

b

|＞1?|

a

+

b

|2＞1?1+1+2

a

•

b

＞1?

a

•

b

＞-

1

2

?cosθ＞-

1

2

，而θ∈[0，π]，
∴θ∈[0，

2π

3

），即p₁正确，从而p₂错误；
p₃：|

a

-

b

|＞1?|

a

-

b

|2＞1?1+1-2

a

•

b

＞1?

a

•

b

＜

1

2

?cosθ＜

1

2

，而θ∈[0，π]，
∴θ∈（

π

3

，π]，故p₃错误，p₄正确．
综上所述，p₁正确，p₄正确．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量数量积的概念与性质及其应用，|

a

+

b

|2＞1转化为cosθ＞-

1

2

是关键，属于中档题．