Question

（2013•菏泽二模）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2

2

sinxcosx，则下列结论正确的是（　　）

• A．两个函数的图象均关于点（-

  π

  4

  ，0）成中心对称
• B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移

  π

  4

  个单位即得②
• C．两个函数在区间（-

  π

  4

  ，

  π

  4

  ）上都是单调递增函数
• D．两个函数的最小正周期相同

Answer 1

分析：①函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数；②函数解析式利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，然后分别对各项判断即可．

解答：解：①y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），②y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x，
A、①中的函数令x+

π

4

=kπ（k∈Z），解得：x=kπ-

π

4

（k∈Z），故（-

π

4

，0）为函数对称中心；
②中的函数令2x=kπ（k∈Z），解得：x=

kπ

2

（k∈Z），故（-

π

4

，0）不是函数对称中心，本选项错误；
B、①向右平移

π

4

个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的

1

2

倍，即得②，本选项错误；
C、①令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，故函数在区间（-

π

4

，

π

4

）上是单调递增函数；
②令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，故函数在区间（-

π

4

，

π

4

）上是单调递增函数，本选项正确；
D、①∵ω=1，∴T=2π；
②∵ω=2，∴T=π，本选项错误，
故选C

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的单调性及周期性，熟练掌握公式是解本题的关键．