Question

设函数f(x)=

1

2

ax2+2ax-3lnx (a∈R)，
（Ⅰ）若f（x）在x=1处有极值，求a；
（Ⅱ）若f（x）在[2，3]上为增函数，求a的取值范围．
（Ⅲ）当a=-1时，函数f（x）图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，由已知f'（1）=3a-3=0，从而求得a=1．再经验证得a=1符合题意；
（Ⅱ）f′(x)=

ax2+2ax-3

x

≥0对x∈[2，3]恒成立，分离参数得a≥

3

x2+2x

，对x∈[2，3]恒成立，可求

3

x2+2x

的最大值为

3

8

，从而得解
（Ⅲ）当a=-1，假设图象上存在两点、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′(x)=-

x2+2x+3

x

知两点处的切线斜率分别为k1=-

x 2 1 +2x1+3

x1

，k2=-

x 2 2 +2x2+3

x2

由于x＞0时，f′(x)=-

x2+2x+3

x

＜0 故k₁•k₂＞0，从而矛盾，故得解．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），
又f′(x)=ax+2a-

3

x

=

ax2+2ax-3

x

，
 由已知f'（1）=3a-3=0，
∴a=1．经验证得a=1符合题意----4分
  （Ⅱ）f′(x)=

ax2+2ax-3

x

≥0
对x∈[2，3]恒成立，
∴a≥

3

x2+2x

，
对x∈[2，3]恒成立，
因为x∈[2，3]，所以

3

x2+2x

的最大值为

3

8

，
所以a≥

3

8

；-----------------9分
（Ⅲ）当a=-1，假设图象上存在两点、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′(x)=-

x2+2x+3

x

知两点处的切线斜率分别为k1=-

x 2 1 +2x1+3

x1

，k2=-

x 2 2 +2x2+3

x2

，
则k₁•k₂=-1＜0（*）      
∵当x＞0时，f′(x)=-

x2+2x+3

x

＜0 
故k₁•k₂＞0与（*）式矛盾，故假设不成立，
∴当a=-1
时，图象上不存在这样的两点使结论成立； …13分

点评：本题以函数为载体，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查存在性问题，关键是正确运用导函数．