Question

(本小题满分12分)函数，．

（Ⅰ）求的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论与的大小关系；

（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在是函数的减区间;是函数的增区间.的最小值是．（II）当时，；当时，．

（Ⅲ）不存在.

【解析】

试题分析：（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，

∴；，∴，令，即，解得，

因为＞，所以＜0，＜0，

当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；

当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；

所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

所以的最小值是．…………4分

（2），设，则，

当时，，即，当时，，，

因此函数在内单调递减，当时，=0，∴；

当时，=0，∴．…………8分

（3）满足条件的不存在．证明如下：

证法一 假设存在，使对任意成立，

即对任意有              ①

但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，

因此不存在，使对任意成立．  …………12分

证法二 假设存在，使对任意成立，

由（1）知，的最小值是，

又，而时，的值域为，

∴当时，的值域为，

从而可以取一个值，使，即,∴

，这与假设矛盾．

∴不存在，使对任意成立

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值。

点评：利用导数求函数的单调区间，一定要先求函数的定义域。此题的综合性较强，对学生的能力要求较高。