Question

（2013•成都模拟）已知向量

.

m

=（

3

sin

x

4

，1），

.

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），f（x）=

.

m

•

.

n

．
（1）若f（x）=1，求cos（x+

π

3

）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+

1

2

c=b，求函数f（B）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（

x

2

+

π

6

）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（

x

2

+

π

6

）的值代入即可求出值；
（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出B的范围，得出

B

2

+

π

6

的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（B）的范围．

解答：解：（1）∵

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
又f（x）=1，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，（4分）
∴cos（x+

π

3

）=cos2（

x

2

+

π

6

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

；（6分）
（2）∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

，acosC+

1

2

c=b，
∴a•

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又∵A∈（0，π），∴A=

π

3

，（10分）
又∵0＜B＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

B

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴f（B）∈（1，

3

2

）．（12分）

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．