Question

椭圆

x2

16

+

y2

m

=1过点（2，3），椭圆上一点P到两焦点F₁、F₂的距离之差为2，
（1）求椭圆方程
（2）试判断△PF₁F₂的形状．

Answer 1

分析：（1）将点的坐标代入椭圆方程求得m的值，从而得出椭圆的方程；
（2）由椭圆定义知，|PF₁|与|PF₂|的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出△PF₁F₂的两边．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

16

+

y2

m

=1过点（2，3），
∴

22

16

+

32

m

=1
∴m=12，
∴椭圆方程为：

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）：由|PF₁|+|PF₂|=8，|PF₁|-|PF₂|=2，解得|PF₁|=5，|PF₂|=3．
又|F₁F₂|=4，故满足|PF₂|²+|F₁F₂|²=|PF₁|²．
∴△PF₁F₂为直角三角形．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、三角形的形状判断．要特别注意对于椭圆的焦点弦问题常需借助椭圆的定义来解决．