Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q分别是BC、C₁D₁、AD₁、BD的中点.

(1)求证：PQ∥平面DCC₁D₁.

(2)求PQ的长.

(3)求证：EF∥平面BB₁D₁D.

Answer 1

证明：(1)连结AC、CD₁.

∵P、Q分别为AD₁、AC中点，∴PQ∥CD₁.

又CD₁平面DCC₁D₁，∴PQ∥平面DCC₁D₁.

(2)解：由(1)中证明易知PQ=D₁C=a.

(3)证明：取B₁D₁的中点O₁，连结BO₁、FO₁，

则有FO₁B₁C₁,BEFO₁.

∴四边形BEFO₁是平行四边形.∴EF∥BO₁.

又EF平面BB₁D₁D，BO₁平面BB₁D₁D，

∴EF∥平面BB₁D₁D.