Question

已知集合A={x|x²+px+q=0}，B={x|qx²+px+1=0}，同时满足：①A∩B≠∅；②-2∈A（p，q≠0），求p，q的值．

Answer 1

分析：先由-2∈A求出q=2p-4以及x=-2或x=2-p．再把所求利用A∩B≠∅代入qx²+px+1=0，解出相应的p，q的值即可．

解答：解：由题-2∈A得（-2）²+（-2）p+q=0?q=2p-4．
∴x²+px+q=0?（x+2）（x-2+p）=0?x=-2或x=2-p．
∵A∩B≠∅，
∴当-2∈B时，qx²+px+1=0?

q=2p-4 4q-2p+1=0

?

p= 5 2 q=1

；
当2-p∈B时，qx²+px+1=0?

q=2p-4 q(2-p)2+p(2-p)+1=0

?2p³-13p²+26p-15=0?（p-1）（2p-5）（p-3）=0?

p=1 q=-2

或

p=3 q=2

或

p= 5 2 q=1

．
∵A∩B≠∅，故△=p²-4q≥0
∴上述三个解都符合题意
综上得：

p=1 q=-2

或

p=3 q=2

或

p= 5 2 q=1

．

点评：本题考查了二次函数的性质．在解题过程中牵涉到了解高次方程，在解高次方程时，一般先看有没有特殊根，比如±1，±2，±3，等先把方程简化，再求解．