Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+3ax(a∈R)，
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=x₁和x=x₂处有极值，且1＜

x2

x1

≤3，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数f（x）的单调递增区间，先求导数，再令导数大于0，解出x的范围即可．
（2）根据函数f（x）在x=x₁和x=x₂处取得极值，可判断x₁和x=x₂处为方程x²-2ax+3a=0的两根，就可列出a，b的不等关系，再利用条件：“1＜

x2

x1

≤3”结合根与系数的关系建立关于a另一个不等式．两者结合即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=

1

3

x³+x²-3x，
∴f'（x）=x²+2x-3，（2分）
令f'（x）＞0，即x²+2x-3＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），（-∞，-3）；（5分）
（2）函数f（x）在x=x₁和x=x₂处有极值，且f'（x）=x²-2ax+3a
∴x₁和x₂为方程x²-2ax+3a=0的两根，
∴

△＞0 x1+x2=2a x1x2=3a

，由△＞0得4a²-12a＞0，∴a＞3或a＜0，①
∴

x2

x1

+

x1

x2

=

x 2 1 + x 2 2

x1x2

=

(x   1 + x   2 ) 2-2x1x2

x1x2

=

4a2-6a

3a

=

4a

3

-2
设t=

x2

x1

，且1＜

x2

x1

≤3，∴1＜t≤3．
∴

x2

x1

+

x1

x2

=t+

1

t

，此函数在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，
∴2＜

x2

x1

+

x1

x2

≤

10

3

，∴2＜

4a

3

-2≤

10

3

，⇒3＜a≤4②
由①②实数a的取值范围3＜a≤4．

点评：本题考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系、利用导数求函数的单调区间和极值，属于导数的应用，应当掌握．属于中档题．