Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PA⊥CD，且PD=3，AD=3

2

，CD=2

2

；
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求二面角A-PB-C的正弦值；
（3）若E，F，M为AB，CD，PB的中点，在线段EF上是否存在点N，使得MN⊥平面PAB；若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，知PD⊥CD，由PA⊥CD，能够证明CD⊥AD．
（2）以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的正弦值．
（3）假设存在．由E，F，M为AB，CD，PB的中点，设

FN

=λ

FE

=(3

2

λ，0，0)，利用向量法能求出λ=

1

4

．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，
又∵PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AD．
（2）如图，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵ABCD是平行四边形，CD⊥AD，PD=3，AD=3

2

，CD=2

2

，
则D（0，0，0），A（3

2

，0，0），B（3

2

，2

2

，0），C（0，2

2

，0），P（0，0，3），

AB

=（0，2

2

，0），

PB

=（3

2

，2

2

，-3），

CB

=（3

2

，0，0），
设平面APB的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），则

AB

•

n

=0，

PB

•

n

=0，
∴

2 2 y1=0 3 2 x1+2 2 y1-3z1=0

，解得

n

=（1，0，

2

），
设平面CPB的法向量

m

=（x₂，y₂，z₂），则

PB

•

m

=0，

CB

•

m

=0，
∴

3 2 x2+2 2 y2-3z2=0 3 2 x2=0

，解得

m

=（0，3，2

2

），
设二面角A-PB-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

0+0+4

3 × 17

|=

4 51

51

，
∴二面角A-PB-C的正弦值为：

1-( 4 51 51 )2

=

1785

51

．
（3）假设存在．
∵E，F，M为AB，CD，PB的中点，
∴E（3

2

，

2

，0），F（0，

2

，0），

EF

=（3

2

，0，0），
设

FN

=λ

FE

=(3

2

λ，0，0)，M（

3 2

2

，

2

，

3

2

），

FM

=（

3 2

2

，0，

3

2

），

MN

=(3

2

λ-

3 2

2

，0，-

3

2

)，
∵MN⊥平面PAB，
∴

AB • MN =0 PB • MN =0

，2(λ-

1

2

)+

1

2

=0，
∴λ=

1

4

．
故在线段EF上存在点N，FN=

1

4

FE，使得MN⊥平面PAB．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查点的位置的探索．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．