Question

7．设F₁、F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P在双曲线上，若$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，则双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，设|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=m，|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=n（m＞n），则mn=2ac，结合双曲线的定义、勾股定理，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，设|$\overrightarrow{P{F_1}}$|=m，|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=n（m＞n），则mn=2ac，
∵m-n=2a，m²+n²=4c²，
∴4c²-4ac=4a²，
∴e-²e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义、勾股定理的运用，属于中档题．