Question

已知f(x)=logax(0＜a且a≠1)的图象过点(4，2)， (1)求a的值； (2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x)，求g(x)的解析式及定义域； (3)求g(x)单调减区间．

．

Answer 1

分析：（1）将点的坐标，代入函数解析式，即可求得a的值；
（2）利用f（x）的解析式，可得函数g（x）的解析式，并可确定函数的定义域；
（3）确定内函数的单调减区间，即可得到结论．

解答：解：（1）∵函数的图象过点（4，2），
∴2=log_a4，∴a²=4
∵a＞0且a≠1，∴a=2；
（2）g（x）=f（1-x）+f（1+x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）
由

1-x＞0 1+x＞0

，可得-1＜x＜1，
∴g（x）的定义域为（-1，1）；
（3）g（x）=log2(1-x2)（x∈（-1，1））
∵t=1-x²（x∈（-1，1））的单调减区间为（0，1），y=log₂t为单调增函数
∴g（x）=log2(1-x2)的单调减区间为（0，1）．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的定义域与单调区间，属于中档题．