Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：联立得： ，

解得： ，

∴圆心C（3，2）．

若k不存在，不合题意；

若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即 =1，

解得：k=0或k=﹣ ，

则所求切线为y=3或y=﹣ x+3；

（2）

解：设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2 ，

化简得：x2+（y+1）2=4，

∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），

∴圆C与圆D的关系为相交或相切，

∴1≤|CD|≤3，其中|CD|= ，

∴1≤ ≤3，

解得：0≤a≤ ．

【解析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．