Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n满足条件

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

，n=1，2，…，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=a_np^a_n（p＞0），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由

s2n

sn

=

4n+2

n+1

得：

a1+a2

a1

=3，所以a₂=2，即d=a₂-a₁=1，
所以a_n=n．
（Ⅱ）由b_n=a_np^a_n，得b_n=npⁿ．所以T_n=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，①
当p=1时，T_n=

n2+n

2

；
当p≠1时，
pT_n=p²+2p³+3p⁴+…+（n-1）pⁿ+npⁿ⁺¹，②
①-②得（1-p）T_n=p+p²+p³+…+p^n-1+pⁿ-npⁿ⁺¹=

p(1-pn)

1-p

-npn+1，
即T_n=

n2+n 2 ，p=1 p(1-pn) (1-p)2 - npn+1 1-p ，p≠1

．