已知函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x)(x∈R),且f(x)在[0,1]上是减函数,有以下四个函数:①y=sinπx②y=cosπx③y=1-(x-2k)2,2k-1<x≤2k+1,k∈Z④y=1+(x-2k)2,2k-1<x≤2k+1,k∈Z其中满足f (x)所有条件的函数序号为( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④
【答案】分析:先利用f(x+1)=-f(x)求得函数的周期为2;再分别看四个函数,周期为2都成立,只有利用在[0,1]上的单调性来求答案,对于①④可得其在在[0,1]上是增函数即可得结论.
解答:解:由f(x+1)=-f(x)⇒f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x).即函数的周期为2.
对于①,因为y=sinπx在Y轴右边是先增后减,故不成立;
对于②,符合要求;
对于③,首先可得其周期为2,且当k=0时,y=1-x2在[0,1]上是减函数,符合要求;
对于④,当k=0时,y=1+x2在[0,1]上是增函数,不符合要求.
故符合要求的有 ②③.
故选 B.
点评:本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查.一般出选择或填空题时,是两条性质综合运用来解题,属于基础题.