Question

10．变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ 3x+5y＜25\\ x≥1\end{array}\right.$，求目标函数z=2x+y的最小值和最大值．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y可行域内的点B时，从而得到z=2x+y的最值即可．

解答 解：如图：作出可行域：

目标函数：z=2x+y，则y=-2x+z
当目标函数的直线过点A时，Z有最大值．
A点坐标由方程组 $\left\{\begin{array}{l}{x-4y=-3}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，
A（5，2）Z_max=2x+y=12．
当目标函数的直线过点B（1，1）时，
Z有最小值Z_min=2x+y=3，
故z=2x+y的最大值和最小值分别为：12；3．

点评 题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．