Question

（2007•河北区一模）已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：利用二倍角公式化成 f（x）=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），
（Ⅰ）最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，求单调递减区间

解答：解：（Ⅰ） f（x）=（cos⁴x-sin⁴x）-2sinx•cosx=（cos²x-sin²x）-sin2x
=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

）． …（4分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．  …（6分）
（Ⅱ）令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，…（8分）
则kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z．
故f（x）的单调递减区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．  …（12分）

点评：本题考查二倍角公式的应用，三角函数性质，整体思想．属于常规题目．