Question

定义在R上的函数f（x），给出下列四个命题：
（1）若f（x）是偶函数，则f（x+3）的图象关于直线x=3对称
（2）若f（x+3）=-f（3-x），则f（x）的图象关于点（3，0）对称
（3）若f（x+3）=f（3-x），且f（x+4）=f（4-x），则f（x）的一个周期为2．
（4）y=f（x+3）与y=f（3-x）的图象关于直线x=3对称
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：（1）若f（x）是偶函数，则f（x）的图象关于y轴对称，f（x+3）的图象可由f（x）图象向左平移3个单位得到，
即可判断；
（2）由f（x+a）+f（a-x）=2b，则f（x）的图象关于点（a，b）对称，即可判断；
（3）由函数的对称性得f（x+6）=f（-x），且f（x+8）=f（-x），即有f（x+2）=f（x），即可判断；
（4）令x+3=t，则x=t-3，则y=f（t）和y=f（6-t）的图象关于t=3对称，即可判断．

解答： 解：（1）若f（x）是偶函数，则f（x）的图象关于y轴对称，
f（x+3）的图象可由f（x）图象向左平移3个单位得到，
故图象关于直线x=-3对称，故（1）错；
（2）若f（x+3）=-f（3-x），即f（3+x）+f（3-x）=0，
则f（x）的图象关于点（3，0）对称，故（2）对；
（3）若f（x+3）=f（3-x），且f（x+4）=f（4-x），
则f（x+6）=f（-x），且f（x+8）=f（-x），即有f（x+6）=f（x+8）即有f（x+2）=f（x），
则f（x）的一个周期为2，故（3）对；
（4）令x+3=t，则x=t-3，则y=f（t）和y=f（6-t）的图象关于t=3对称，
则y=f（x+3）与y=f（3-x）的图象关于直线x=0对称，故（4）错．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的对称性和周期性及应用，属于中档题．